LA HISTORIA

Y LA GEOMETRÍA

(I)

Todo comenzó en Egipto
El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.
Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario.
Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.

El río Nilo

La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".
Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.
Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas. Pero el verdadero motivo era que las clases altas conocían de esta manera cuánto sembraban sus súbditos para luego... saber cuánto debían cobrarles de impuestos.

Para medir las tierras los egipcios aprendierona acalcular el área de los rectángulos y de los triánngulos. Para medir los triángulos usaban cuerdas.

Los babilonios

Los babilonios también conocían las áreas delos triángulos y los rectángulos, sobre todo para resolver problemas de herencia ¿cómo repartir las tierras entre los herederos? También conocieron las áreas de los pentágonos, hexágonos y heptágono. Pero en especial estudiaron mucho los círculos.




Eran unos excelentes geometras ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes. Recordemos que ellos crearo el sistema de numeración sexagesimal (de base 60). ESte zodíaco les serviría para elaborar calendarioa y almanaque: muy útiles para el cultivo de los cereales. Es decir que junto a la geometría nace la astronomía.

De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.

Los griegos


Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.

Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes. Se crtee que nació en Mileto, actual Grecia, (624 a.C.-?, 548 a.C.)

En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y contemporáneo de Anaximandro.

Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas. Suponía que la tierra flotaba en un océano infinito.

En geometría, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.

Fue el famoso sabio de la historia que cayó a un pozo por miarar las estrellas y una anciana le dijo: "Prertendes observar las estrellas y ni siquiera ves lo que tienens a tus pies". También se le atribuye a Tales la historia del mulo que cargaba sal y que se metía en el río para disolverlas y aligerar su peso; Tales le quito esa mala costumbre cargándolo con esponjas.

Cuando le preguntaron la recompensa que quería por sus descubrimientos contestó: "Me consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que reconocieran que son mios".

Pitágoras (582-496 a.C)Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa.

Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad.

En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas. Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas: Teano.

El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). En esta Escuela se entraba luego de prestarle juramento al número diez, todos los documentos se mantenían de manera oral y nadie podía divulgarlos. Jugaban con piedritas y formaban los números cuadrados y los números rectangulares. Pitágoas conoció a Tales de Mileto y fueron amigos.

Para los Pitagóricos, no sólo la tierra era esférica, sino que no ocupaba el centro del universo. La tierra y los planetas giraban -a la vez que el sol- en torno al fuego central o “corazón del Cosmos”(identificado con el número uno). El mundo aspira el aire de la masa sin límites que lo envuelve y habla del aire como lo ilimitado.

Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.

Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días. La base de su filosofía fue la ciencia de los números así como el estudio de la geometría. Pero Pitágoras es famoso por haber descubierto el Teorema que lleva su nombre: el teorema de Pitágoras. ¿En qué consiste este teorema? Simple: los lados de un triángulo rectángulo formana cuadrados.

Y si sumamos los cuadrados de los lados menores obtendremos los cuadrados del lado mayor (también conocido como hipotenusa).

Demostraciones del Teorema de Pitágoras en:

http://www.pajarita.org/aep/articulos/ARTIC6-2.PDF

Platón (427-348/347 a.n.e.) Arístocles de Atenas, apodado Platón (Plátwn = «el de anchas espaldas»), nace, probablemente, el año 428-427 a.n.e. en Atenas, o quizás en Aegina. Pertenecía a una familia noble.El año 399 tiene lugar la condena y muerte de Sócrates. Temiendo ser molestado por su condición de amigo y discípulo de Sócrates, Platón se refugia en Megara Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio.

En el 387 regresa a Atenas y funda la Academia, primera escuela de filosofía organizada, origen de las actuales universidades. Allí permanecerá durante veinte años dedicado al estudio y a la enseñanza. Hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “No entres aquí el que no conoce geometría”. Esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”.

Según Platón, el estudio de la Geometría debía empezarse en el orden siguiente:1.-Definiciones2.-Axiomas3.-Postulados4.-TeoremasA esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores a él, principalmente Euclides.

Los sólidos platónicos, cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos o poliedros de Platón (que todos estos nombres reciben) son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.
Existen cinco sólidos platónicos diferentes:
El tetraedro, de cuatro caras triangulares;
El hexaedro, o cubo, de seis caras cuadradas;
El octaedro, de ocho caras triangulares;
El dodecaedro, de doce caras pentagonales; y
El icosaedro, de veinte caras triangulares.

Los cinco sólidos platónicos representan la composición y armonía de las cosas. En el Timeo se dice que la Tierra está formada por átomos agrupados en forma de hexaedros; el fuego, de tetraedros, el aire, de octaedros, y el agua, de icosaedros. El universo en su totalidad está figurado en el dodecaedro.

¿Quieres "tocar" estos poliedros en la red:

http://www.luventicus.org/articulos/03N023/index.html

¡También encontrarás las plantillas para recortar y armar!

Entraremos en más detalles en el blog de los poliedros...

LA HISTORIA

Y LA GEOMETRÍA

(II)

EL SISTEMATIZADOR

- EUCLIDES -

Poco se sabe de este matemático griego, incluso hay quien opina que en realidad nunca existió, sino que sus obras pertenecen a un grupo de matemáticos griegos que se hacía llamar por ese nombre. Se cree que vivió entre los siglos IV y III de antes de nuestra era (330-275 A.c) y que trabajó en la Biblioteca de Alejandría. Su gran mérito consistió en recopilar y sintetizar los conocimientos geométricos de su época.

Su libro clave es el llamado Elementos, y constaba originalmente de trece volúmenes en los que se exponía la geometría clásica. Este libro tiene tanta importancia para las matemáticas como el Principia de Newton para la Física o el Origen de las Especies de Darwin para la Biología.

Una página de su primera edición impresa

Para sentar las bases de la Geometría, Euclides utilizó lo que se llama axiomas, que no son otra cosa que principios fundamentales indemostrables pero que se consideran evidentes, y a partir de los cuales se construye una teoría. Él los llamó postulados y formuló cinco primordiales que se pueden exponer de varias maneras equivalentes, una de las cuales es:

1. Si tenemos dos puntos, entonces podemos dibujar una recta que los une
2. Cualquier recta se puede hacer todo lo larga que se quiera
3. Se puede trazar una circunferencia de cualquier tamaño alrededor de cualquier punto
4. Todos los ángulos rectos son iguales
5. Si tenemos una recta y un punto externo a ella, podremos dibujar todas las rectas que queramos qe pasen por ese punto, pero sólo una de ellas será paralela a la que ya teníamos.

Todo esto parece evidente, pero el gran mérito de Euclides fue deducir toda la geometría de su época a partir de estos 5 postulados. Tanto es así, que a la geometría clásica se le llama en su honor Geometría Euclídea o Euclidiana.

El quinto postulado siempre fue polémico, Muchos pensaban que no era un axioma sino un teorema, es decir, parecía que no era tan primordial como los otros y que se podía deducir a partir de los otros 4, y durante siglos se intentó hallar la manera de hacerlo. Sin embargo, resultó que no era posible.

GEOMETRÍAS NO-EUCLIDEANAS

- LOBACHEVSKY -

Pasaron más de 2000 años hasta que el problema del quinto postulado quedó zanjado. Se cree que Karl Fiedrich Gauss (1777- 1885), fue el primero que lo vio claro, pero ni alguien como él, considerado ya en vida uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos, se atrevió a publicar sus conclusiones, puesto que rompían con un dogma milenario.

Sí se atrevió un contemporáneo suyo, el ruso Nicolai Lobachevski (1792-1856), quien en 1826 no sólo dijo que el quinto axioma de Euclides no se podía deducir de los otros cuatro, sino que no era tal axioma. Ese axioma se podía sustituir por otro y construir toda una geometría distinta. Sin embargo, la obra de Lovachevski no alcanzó demasiada repercusión más allá de su círculo cercano, en la remota Universidad de Kazán, ciudad perteneciente a la no menos remota república rusa de Tatarstán.



Así surgieron varias geometrías distintas a la clásica, incluso un alumno de Gauss, Georg Bernhard Riemann (1826 – 1866) elaboró una geometría en la que no hay rectas paralelas. El mismo Riemann sintetizó más adelante el estudio de geometrías no euclídeas, llamadas hoy en su honor Geometrías Riemannianas.

¿PUEDEN EXISTIR GEOMETRÍAS NO EUCLIDEAS?

Puede resultar extraño imaginar geometrías en las que no se cumplan los postulados de Euclides, pero hay un ejemplo que nos puede ayudar a imaginarlo, basta con pensar en una esfera, como puede ser un balón de fútbol o, aproximadamente, nuestro planeta Tierra. Si dibujamos una recta sobre esta esfera, ésta no podrá ser infinita como en un plano, puesto que acabaremos volviendo al mismo punto, y por tanto su tamaño será el del diámetro de la esfera, es decir, que no tendremos rectas en el sentido tradicional, sino que tendremos circunferencias que cumplen la misma función que las rectas en la geometría tradicional.

En una esfera la geometría no es igual que en un plano

Este asunto de la esfera se conocía, como es lógico, desde mucho tiempo atrás pero nadie se había puesto a estudiarlo seriamente, se consideraba que sólo eran casos degenerados de geometría euclídea. Sin embargo desde el Siglo XIX se consideran geometrías tan válidas como la clásica, y podemos decir que existen infinitas geometrías posibles, dependiendo de la curvatura de la superficie con la que estemos tratando. La geometría euclídea sólo es el caso particular que se inscribe en un plano, es decir, cuando la curvatura es nula.

LA GEOMETRÍA Y LA RELATIVIDAD

- ALBERT EINSTEIN -

Recordemos que vivimos en un universo de cuatro dimensiones, las tres espaciales más el tiempo. Este asunto de la curvatura del espacio-tiempo se puede imaginar más fácilmente sobre un supuesto universo de sólo dos dimensiones, es decir un plano, como podría ser un colchón. Si en ese colchón se pone una canica, esta se quedará quieta. Pero si después de la canica ponemos un objeto más pesado, como una bola grande de hierro, esta hundirá (curvará) el colchón de forma que la canica tenderá a acercarse a la bola de hierro.

El espacio se curva alrededor de los cuerpos

Se puede decir que la curvatura del colchón es un ejemplo en dos dimensiones de cómo la Tierra curva el espacio a su alrededor atrayendo a los objetos.

Y fue a encontrar el funcionamiento de este espacio curvo a lo que dedicó Einstein ocho años. Las complejas ecuaciones resultantes se podrían resumir así: La curvatura del espacio-tiempo en una zona del universo es igual al contenido de masa y energía de esa región.

La geometría que subyace en esa curvatura no es la de Euclides, sino una no euclidiana que supone consecuencias que nos dan explicaciones distintas para fenómenos que hasta entonces se creían comprendidos. Por ejemplo, los planetas que giran alrededor del Sol en realidad están describiendo una línea recta, pero, como vimos antes, una recta en un espacio no euclidiano es distinta de las rectas de toda la vida.

LOS PROBLEMAS DEL FUTURO

- D. HILBERT -

Matemático alemán. Durante el siglo XIX se puso de manifiesto, cada vez de una manera más evidente, que Euclides no había partido de conceptos patentes y que había supuesto muchas cosas sin especificarlas. Se hicieron esfuerzos para fijar un número mínimo de términos y definiciones básicas sin identificar y de éstas deducir rigurosamente la estructura matemática completa.

Esta es la ciencia axiomática, y fueron Hilbert y Peano quienes la fundaron. Hilbert publicó en 1899 "Foundations of Geometry" (Fundamentos de Geometría), en la que por primera vez se exponían satisfactoriamente una serie de axiomas de geometría. Hilbert se contentó con definir ciertas propiedades en vez de definirlas. También probó que su sistema de axiomas era bastante completo, algo que los griegos habían admitido de los axiomas de Euclides, pero sin demostrarlo. Así completó el trabajo de Euclides sin efectuar cambios en la esencia, pero su fundamento pasó de intuitivo a lógico.

Es famosa la conferencia que dio en el Congreso Internacional de Matemáticas de París en 1900, de título Problemas matemáticos, en la que proponía una lista de 23 problemas que estaban sin resolver (algunos todavía lo están).

Una de estas cuestiones era: ¿son las matemáticas decidibles? es decir, ¿hay un método definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y que nos diga si esa sentencia es cierta o no?. Esta cuestión recibió el nombre de enstcheidungsproblem y para resolverla, Alan Turing construyó, en 1936, un modelo formal de computador, la Máquina de Turing, y demostró que había problemas tales que una máquina no podía resolver.

Otras dos cuestiones: ¿es la matemática completa?, es decir, ¿puede ser demostrada o refutada cualquier sentencia matemática? y ¿es la matemática consistente?, es decir, ¿es cierto que sentencias tales como 0 = 1 no pueden demostrarse por métodos válidos?. En 1931, Kurt Gödel fue capaz de responder a estas dos preguntas, demostrando que cualquier sistema formal suficientemente potente es inconsistente o incompleto.

Hilbert trabajó sobre los invariantes algebraicos, geometría (su libro Los fundamentos de la Geometría es un clásico), ecuaciones integrales, también se dedicó a la Física (decía que la Física es demasiado difícil para los físicos), su libro Los métodos de la Física matemática, de Richard Courant y David Hilbert (se conoce como el Courant-Hilbert) se sigue imprimiendo en la actualidad; también trabajo en los fundamentos de las matemáticas y en la lógica matemática.

El epitafio de Hilbert es "Wir müssen wissen, wir werden wissen" ("Debemos saber, de modo que sabremos")

INTRODUCCIÓN

A LA GEOMETRÍA

TÉRMINOS INDEFINIDOS

DE LA GEOMETRÍA:

(PUNTO, LÍNEA Y PLANO)

PUNTO
Un punto sólo tiene posición en el espacio.
Es la unidad indivisible de la geometría.
No tiene dimensión (largo, alto, ancho)



LÍNEA
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.




LÍNEA RECTA
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.

¿LA RECTA ES INFINITA?
Claro las rectas son infinitas por eso en geometría se trbaja con "pedazos" o "trozos" de recta denominados: segmentos de recta.





¿CÓMO UNIR DOS PUNTOS?
Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.




LÍNEA CURVA
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.

Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada.




EL PLANO
Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor.

El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones.

La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo...
En otras palabras la geometría plana estudia a las figuras planas (polígonos).





DIAGRAMAS CARTESIANOS



Estos diagramas fueron creados por Rene Descartes, tambien conocido como Cartesio, de ahí que estos diagramas se llamen denominen diagramas cartesianos.

Un diagrama cartesiano consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares entre sí (horizontal y vertical respectivamente). Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.

Estas rectas reciben los nombres de: la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las x") y la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y").

¿Qué es un par ordenado?



Veamos un ejemplo, en la figura de arriba: el punto de coordenadas (2,3) se localiza situándonos en el punto marcado con el 2 en el eje de las "x"; una vez aquí, subimos hacia arriba verticalmente de forma paralela al eje de las "y", hasta el lugar marcado en este eje con el 3, ese es el punto buscado.


¿Qué es un producto cartesiano?

Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos. Se escribe:

Podemos representarlo de diferentes formas: diagramas de flechas, diagramas arbolados, tablas y gráficos cartesianos. Cada par que formemos con un elemento de A y uno de B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado.

LOS ÁNGULOS

La palabra ángulo proviene de la palabra "rodilla" en griego.

Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo. Un ángulo puede estar situado en cualquier parte del plano pero, a veces nos será útil trasladarlo a un sistema cartesiano de coordenadas de modo que el vértice del ángulo caiga sobre el origen de coordenadas y el lado inicial sobre el eje positivo de abscisas.

Dos semirrectas forman un ángulo. El punto A es el vértice.

El ángulo se denota con una de las letras del alfabeto griego.

Conoce el alfabeto griego:

http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/alfabeto_griego.htm

CLASES DE ÁNGULOS

El ángulo que mide 90º se denomina recto. El que mide menos de 90º es un angilo agudo y el que mide más de 90º es un ángulo obtuso. Los ángulos llanos miden 180º.

Pero puedes medir los ángulos con tu puño ¿no lo crees? Click en:

http://www.experimentar.gov.ar/newexperi/NOTAS/planetatierra/lunaexploracion.htm

El sistema sexagésimal

Para medir los ángulos utilizamos el sistema sexagesimal ¿en qué cocnsiste este sistema?. Este sistema ya se conocia en la antigua Babilonia y consiste en dividir un círculo en 360 partes iguales. Cada una de estas partes se denomina grado (º). La cuarta parte, o sea un cuadrante, medirá 90º ¡Sencillo! ¿No?

Para medir los ángulos se emplea el transportador.

Pero puedes fabricar un "transportador de papel" que te servirá, en casos de emergencia, para medir algunos ángulos. Clic en.

http://www.cientec.or.cr/matematica/origami/transportador.html

Construyendo un geoplano

Tupuedes tocar las líneas, construir tus propios polígonos y con0ocer las áreas de los cuadrados, rectángulos y triángulos... sólo tienes que construir un geoplano.

Necesitas una tabla de unos 30x30 cms. Debes de realizar, con un lápiz, un cuadriculado en la tabla (de 6x6, 7x7x, 8x8, dependiendo del tamaño de la madera que tengas). Luego debes de colocar un clavito en cada una de las intersecciones. Ahora puedes construir los polígonos que desees con ligas de colores... ¡Eso es todo! ¡Sencillo y muy útil!

Descarga un geoplano virtual en:

http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/article-73593.html

Debes de tener el programa Win Zip.

LOS POLÍGONOS

Los polígonos pùeden clasificarse en polígonos regulares y polígonos irregulares.

POLÍGONOS REGULARES

Un polígono regular es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es aquel cuyos lados y ángulos interiores son todos iguales.

¡Construye polígonos regulares!

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm


LOS CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros (figuras de 4 lados) son:

EL CUADRADO
La fórmula del área del cuadrado es
AREA= lado·lado=l2

EL RECTÁNGULO
La fórmula del área del rectángulo es
AREA= lado·lado=a·b

EL PARALELOGRAMO
La fórmula del área del paralelogramo es
AREA= base·altura=b·h

Juega con los cuadriláteros:

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo1.htm

LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos son figuras de tres lados, se clasifican en:

Triágulo equilátero

Triángulo isoceles

Triángulo rectángulo

Juega con los triángulos:

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo2.htm

¿Y el área de un triágulo?

Tal vez ya has notado que un cuadrado, al ser "partido" por una de sus diagonales, se puede dividir en dos triángulos iguales.

Y si dividimos un resctángulo por una de sus diagonales obtenemos dos triángulos iguales.

Por lo tanto el área de un triángulo será:

lado X lado/2

O, escrito de otra manera:

b X h/2 (base por altura dividido entre 2)

EL PENTÁGONO

EL HEXÁGONO

EL CÍRCULO

Es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia.

El círculo es la figura geométrica (el plano) y la circunferencia es la línea que encierra al círculo:

En el interior de un círculo encontramos las siguientes figuras:

El área del círculo es:

¿Y qué significa π?

π (pi)= circunferencia/diámetro

π (pi) se encuentra entodos los círculos y su valor aproximado es de 3,1416

Los polígonos regulares pueden estar inscritos en un círculo. Vean:

http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Polici5.htm

¿Deseas ver los ángulosa dentro de un círculo? Dale un click a:

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Angulos_en_la_circunferencia/Angulos_circunferencia.htm

Los principales polígonos regulares

Estrellas formadas con polígonos

LOS POLÍGONOS IRREGULARES

Como su nombre lo indica son figuas planas que no tienen los lados iguales.

Todo polígono irregular se puede subdivir en triángulos:

Y, como es lógico, para hallar el área de los polígonos irregulares basta con hallar el área de los triángulos que lo conforman y, luego, sumar dichas área. ¡Sencillo! ¿No?

LOS PERÍMETROS

Para hallar el perímetro de los pòlígonos (regualres e irregulares) basta con sumar la longitud de sus lados.